В кроссовках тоже можно.
По правде говоря, ботинки нужны не всегда. Главное достаточно жесткая, с выраженным протектором подошва. Это могут быть и треккинговые кроссовки, но обувь должна быть походная, а не для фитнеса на свежем воздухе и уж тем более не модельная.
На любой пешеходной экскурсии или восхождении всегда есть места, где круто вверх, а потом круто вниз, или просто грязно, или сыпучие мелкие и не очень камни, или снег, или все вместе, по очереди. Жесткая, рифленая подошва гораздо меньше скользит, защищает от острых камней и у вас меньше шансов упасть, получить травму или вымазаться. При необходимости можно надеть гамаши и так защититься от попадания мелких камушков и снега в обувь.

Но ботинки все-же лучше.
Ботинки меньше промокают: в июле на вулканах еще очень много снега, он очень мокрый и кое-где надо переходить ручьи.
Ботинки выше: меньше попадают камни со снегом и при прочих равных высокие ботинки неплохо придерживают голеностоп, защищая от травм.
Ботинки прочнее: вулканическая лава и шлак очень острые и травмоопасные, особенно в поездке на Толбачик.

В общем так:
в июне только ботинки.

в июле, первой половине августа и в дождь ботинки предпочтительнее.

в августе и начале сентября, особенно если погода сухая подойдут треккинговые кроссовки.

вторая половина сентября начало октября лучше ботинки, потому-что уже холодно и может выпасть свежий снег.

Решайте сами и берегите себя.
Помните, приятные воспоминания о Камчатке зависят не только от туроператора, но и от вас

Где лучше остановиться приезжая на Камчатку? На базе отдыха в Паратунской курортной зоне или в гостинице в Петропавловске-Камчаткском?
Паратунка это природа и термальные бассейны. Они есть на всех базах отдыха. Очевидные плюсы на этом заканчиваются.
Кафе или рестораны есть не везде, поэтому будьте внимательны при выборе.
Инфраструктуры нет. В магазин просто так не сходишь. Если у вас в программе экскурсия в бухту Русская, то выезжать вам придется рано. На этот маршрут сбор обычно в 7-30, все катера уходят в 8-00, ехать до Петропавловска 40-50 минут.
Петропавловск-Камчатский это понятное дело инфраструктура с кафе, ресторанами, гостиницами, музеями, рынками, набережной и все трансферы начинаются в городе.
Если есть в программе свободные дни, можно спокойно посетить рынок, магазин сувениров, погулять по набережной на закате, сходить в хороший ресторан.

Восхождения на доступные для массового туризма вулканы - Горелый, Авачинский, Толбачик, не требуют каких то специальных навыков. Сразу оговоримся, речь идет только о летних месяцах.
Восхождения не сложные. На все эти вулканы в сезон поднимаются тысячи туристов. Тропа широкая, расселины перепрыгивать не надо, крутых обрывов и скал на маршрутах нет. Повышенное внимание нужно только наверху, на кромке кратера, и при спуске. Предвершинная часть всех вулканов более крутая и спускаться лучше не спеша, соблюдая осторожность. На мелких камушках может очень легко и неожиданно поехать нога.
Но это все достаточно тяжело. Вам придется несколько часов идти в гору. Идти не по ровной дорожке, а по неровной тропе, часто сбиваясь с ритма. Горелый это 2-3 часа, Авачинский и Толбачик часов 6. Очень важно помнить, что спуск ничуть не легче подъема. Дышать конечно легко, но ноги устают сильно. Особенно напрягаются колени. Так-что если есть какие то проблемы с суставами, хорошо подумайте. Особенно это касается Толбачика, так как расстояние туда-обратно при восхождении на этот вулкан 24 километра. 
Так же следует хорошо подумать, если есть какие-то проблемы с сердцем или сосудами. Помимо физической нагрузки, может сказаться и высота. Вулканы эти не очень высокие. Все меньше трех километров и горная болезнь обычно не развивается на этих высотах, но лучше подстраховаться и обязательно проконсультироваться с врачом и принимающей организацией.